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问答题 设函数f（x）具有2阶导数，且f′（0）＝f′（1），|f″（x）|≤1，证明： （1）当x∈（0，1）时，；
分析

问答题 设函数f（x）具有2阶导数，且f′（0）＝f′（1），|f″（x）|≤1，证明：
（1）当x∈（0，1）时，；
（2）。

正确答案
（1）证明：令g（x）＝f（0）（1－x）＋f（1）x。
令。
因为F（0）＝0，F（1）＝0。
且F″（x）＝f″（x）＋1≥0。（|f″（x）|≤1）
所以F（x）为凹函数，因此F（x）≥0。
所以。
令。
因为F（0）＝0，F（1）＝0。
且F″（x）＝f″（x）－1≤0。（|f″（x）|≤1）
所以F（x）为凸函数，因此F（x）≥0。
所以。
综上，。
（2）由（1）中

由第（1）中

综上，。
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